Hur får man fram en primitiv funktion

I detta förra avsnittet repeterade oss vilket enstaka differentialekvation existerar, för att lösningen mot enstaka differentialekvation existerar enstaka funktion samt hur oss kunna kontrollera för att ett viss funktion existerar ett lösning.

I detta denna plats avsnittet kommer oss för att undersöka hur oss inom vissa fall förmå åtgärda enstaka differentialekvation genom för att beräkna primitiva funktioner.

Primitiva funktioner

Redan inom Matte 3-kursen lärde oss oss ifall primitiva funktioner inom samband tillsammans med för att oss beräknade integraler.

En funktion F(x) existerar primitiv funktion mot f(x) angående oss får funktionen f(x) då oss deriverar F(x):

$$F'(x)=f(x)$$

Har oss mot modell ett känd andragradsfunktion

$$f(x)=a{x}^{2}+bx+c$$

där a, b samt c besitter godtyckligt valda värden, är kapabel oss tillsammans hjälp från kända räkneregler beräkna den primitiva funktionen F(x):

$$F(x)=\frac{a{x}^{3}}{3}+\frac{b{x}^{2}}{2}+cx+d$$

Som oss ser ovan tillkom ett konstantterm d då oss beräknade den primitiva funktionen F(x).

detta beror vid för att detta formulering till den primitiva funktionen såsom oss kom fram mot uttrycker samtliga primitiva funktioner mot f(x).

På detta sätt kunna oss alltså beräkna primitiva funktioner F(x) mot ett känd funktion f(x). Detta innebär för att angående oss mot modell känner mot en formulering på grund av enstaka derivata y'(x) således förmå oss ofta beräkna y(x).

Hur detta är kapabel användas då oss löser differentialekvationer bör oss undersöka härnäst.

Primitiv funktion liksom svar mot differentialekvationer

Som oss tidigare besitter kommit fram mot existerar ett differentialekvation ett ekvation liksom innehåller ett alternativt flera derivator mot enstaka funktion.

Till modell kunna enstaka differentialekvation titta ut vid nästa sätt:

$$s'(t)=1,2t+5$$

Denna differentialekvation innehåller enbart förstaderivatan från funktionen s(t) inom detta vänstra ledet samt en känt formulering inom detta högra ledet.

Denna differentialekvation är kapabel mot modell förklara hur en föremåls hastighet beror vid tiden t (vid tiden t = 0 sekunder existerar hastigheten 5 m/s samt sedan ökar hastigheten på grund av varenda kort tid likt går tillsammans med 1,2 m/s).

Stöter oss vid differentialekvationer från denna typ är kapabel oss ofta åtgärda dem genom för att beräkna den primitiva funktionen tillsammans med hjälp från kända räkneregler.

Differentialekvationen ovan kunna oss åtgärda genom för att beräkna den primitiva funktionen mot s'(t), detta önskar yttra s(t), vid nästa sätt:

$$s'(t)=1,2t+5$$

$$s(t)=\frac{1,2{t}^{2}}{2}+5t+C=0,6{t}^{2}+5t+C$$

Som oss ser innehåller den primitiva funktionen s(t) enstaka okänd konstantterm C. tillsammans hjälp från denna konstantterm C uttrycker s(t) samtliga lösningar mot vår givna differentialekvation, vad oss kallar den allmänna lösningen mot differentialekvationen.

Om s(t) tolkas vilket hur sträckan beror vid tiden t, är kapabel konstanttermen C tolkas liksom sträckan då tiden t existerar lika tillsammans noll.

Låter oss C = 0 gälla förmå oss idag beräkna hur långt ifrån utgångspunkten C likt föremålet befinner sig nära mot modell tidpunkten t = 10 sekunder:

$$s(t)=0,6{t}^{2}+5t$$

$$s(10)=0,6\cdot {10}^{2}+5\cdot 10=60+50=\,m$$

På liknande sätt vilket oss äger gjort på denna plats ovan är kapabel oss utföra ifall oss mot modell känner mot en formulering till andraderivatan s''(t).

inom detta fallet existerar förstaderivatan s'(t) ett primitiv funktion mot s''(t), samt funktionen s(t) existerar ett primitiv funktion mot s'(t). då oss äger för att utföra tillsammans med sträckor tolkar oss förstaderivatan s'(t) likt hastigheten, v(t) = s'(t), samt andraderivatan s''(t) likt accelerationen, a(t) = v'(t) = s''(t).

Användning från villkor

Framgångsrik svar från enstaka differentialekvation leder typiskt mot för att oss får reda vid enstaka allmän svar mot differentialekvationen.

Vi använder kunskapen om hur vi kommer fram till en primitiv funktion till att beräkna integraler, som kan användas till att bestämma arean mellan en kurva och x-axeln

Därför äger oss ofta användning på grund av ytterligare villkor såsom specificerar precist vilka lösningar oss existerar intresserade av.

I fallet tillsammans med en objekt inom rörelse, vars acceleration existerar känd, kunna dem ytterligare villkoren bestå inom för att oss känner mot vilken hastigheten och/eller sträckan existerar nära enstaka viss tidpunkt.

tillsammans med hjälp från dessa villkor kunna oss sedan besluta värdena vid konstanter liksom ingår inom vårt funna funktionsuttryck.

---

Lös differentialekvationen

$$y''=sin\,2x+cos\,2x$$

då nästa villkor gäller:

$$y'(0)=-\frac{1}{2}$$

$$y(0)=-\frac{1}{4}$$

Differentialekvationen består från en känt formulering till ett andraderivata y''(x).

för att åtgärda denna ekvation innebär för att oss tar reda vid en formulering till y(x). Detta är kapabel oss utföra genom för att oss ursprunglig kalkylerar den primitiva funktionen mot y''(x), detta önskar yttra y'(x), samt inom nästa steg kalkylerar den primitiva funktionen mot y'(x), detta önskar yttra y(x).

De primitiva funktionerna mot funktionerna f(x) = sin 2x samt g(x) = cos 2x existerar kända, eftersom oss stötte vid dessa inom Matte 4-kursen då oss studerade räkneregler på grund av integraler:

$$\begin{cases}f(x) & =sin\,2x\\F(x) & =-\frac{cos\,2x}{2}+C\end{cases}$$

och

$$\begin{cases}g(x) & =cos\,2x\\G(x) & =\frac{sin\,2x}{2}+C\end{cases}$$

Vi kalkylerar y'(x) vilket den primitiva funktionen mot y''(x):

$$y'=-\frac{cos\,2x}{2}+\frac{sin\,2x}{2}+C$$

Detta existerar samtliga primitiva funktioner mot y''(x).

Den tar upp olika typer av funktioner, inklusive potensfunktioner och konstanta funktioner, och förklarar hur man kan bestämma en primitiv funktion för varje typ

eftersom oss känner mot värdet vid förstaderivatan då x = 0 förmå oss ta reda vid värdet vid konstanttermen C samt på det sättet ta reda vid just den primitiva funktionen mot y''(x) vilket oss existerar ute efter inom detta steg:

$$y'(0)=-\frac{1}{2}$$

$$y'(0)=-\frac{cos\,(2\cdot 0)}{2}+\frac{sin\,(2\cdot 0)}{2}+C=$$

$$=-\frac{1}{2}+\frac{0}{2}+C=$$

$$=-\frac{1}{2}+C$$

Därför måste värdet vid konstanttermen C existera lika tillsammans med noll.

Vi går vidare samt kalkylerar y(x) vilket den primitiva funktionen mot y'(x):

$$y'=-\frac{cos\,2x}{2}+\frac{sin\,2x}{2}$$

$$y=-\frac{sin\,2x}{4}-\frac{cos\,2x}{4}+D$$

Detta existerar samtliga primitiva funktioner mot y'(x), självklart för att detta inledande villkoret, liksom oss redan tagit hänsyn mot, måste gälla.

oss äger dock ännu enstaka konstantterm, D, för att hantera. till för att ta reda vid just den svar likt oss existerar intresserade från, använder oss oss från detta andra villkoret, liksom anger funktionsvärdet då x = 0:

$$y(0)=-\frac{1}{4}$$

$$y(0)=-\frac{sin\,(2\cdot 0)}{4}-\frac{cos\,(2\cdot 0)}{4}+D=$$

$$=-\frac{0}{4}-\frac{1}{4}+D=$$

$$=-\frac{1}{4}+D$$

Alltså måste även värdet vid konstanttermen D existera lika tillsammans noll.

Nu besitter oss funnit just den svar mot differentialekvationen såsom oss plats ute efter:

$$y=-\frac{sin\,2x}{4}-\frac{cos\,2x}{4}$$