Vad betyder pilar i matematik

Aritmetik, räknelära, (från grekiskan arithmein: räkna, arithmetike: räknekonst, arithmos: tal) existerar den kvist inom matematiken likt behandlar räknande. detta existerar den maximalt ursprungliga formen från matematik samt innefattar primär attribut hos anförande, vilket hur dem skrivs samt hur dem fungerar beneath addition, subtraktion, multiplikation samt division; även andra räkneoperationer liksom procenträkning, potenser, rotutdragning samt logaritmer tillhör aritmetiken.

Med anförande avses dem naturliga talen, heltalen, dem rationella talen (bråk från heltal), dem reella talen (decimalutvecklingar samt andra skrivsätt) alternativt dem komplexa talen. Kärnan inom aritmetiken utgörs från numeriska konsekvens, samt dem tekniker (uppställningar samt praktiska hjälpmedel) såsom används till för att erhålla fram dessa effekt.

Termen "högre aritmetik" syftar vid talteori, detta önskar yttra mer avancerade talegenskaper. detta existerar inom detta kontext man finner aritmetiska funktioner samt aritmetikens fundamentalsats.

Historia

[redigera | redigera wikitext]

Aritmetikens ursprung

[redigera | redigera wikitext]

Aritmetiken existerar den äldsta grenen från matematiken samt ligger mot bas på grund av all övrig matematik.

Grunden mot aritmetiken ligger inom förmågan för att jämföra olika attribut hos saker inom struktur från antal, storlek samt form eller gestalt. Detta existerar attribut liksom går för att spåra åter ända mot dem allra allra första människorna. detta existerar dock ej attribut likt existerar unika på grund av människan vilket fullfölja för att detta existerar omöjligt för att avgöra hur långt tillbaka inom tiden dem egentligen sträcker sig.

Principen på baksidan aritmetiken bygger alltså vid jämförelser. detta lättaste exemplet existerar för att behärska skilja vid en enstaka objekt samt enstaka lag från identisk objekt. mot modell skillnaden mellan en träd samt enstaka skogsområde alternativt en får samt enstaka hel flock. Nästa steg existerar då för att titta en samband mellan trädet samt fåret.

detta existerar numeriskt värde objekt såsom existerar väldigt olika dock liksom äger något gemensamt inom samt tillsammans för att dem båda existerar utan sällskap. Detta förmå tyckas enkelt dock existerar en stort samt viktigt steg mot för att behärska börja räkna. på denna plats definieras nämligen talet, såsom den gemensamma faktorn mellan olika grupper.

då man lärt sig särskilja samt känna igen enstaka objekt existerar nästa steg för att lära sig uppleva igen par.^[1] tillsammans hjälp från dessa numeriskt värde verktyg kunna sedan tre objekt identifieras liksom en par samt en enstaka objekt alternativt fyra objekt vilket numeriskt värde par.

Fyra existerar detta största anförande vilket människan direkt förmå känna igen.

Bara genom för att titta vid ett mängd är kapabel oss tillsammans hjälp från vår omedelbara perception från antal alternativt "känsla" på grund av antal, direkt titta angående den äger en, numeriskt värde, tre alternativt fyra element. angående kvantiteten besitter fler element än fyra måste oss däremot nyttja oss från någon teknik på grund av för att besluta antalet, räkning.^[2] Studier visar för att även vissa vilt, mot modell kajor, förmå känna igen upp mot fyra element, vilket ger intrycket från för att dem räknar.^[1][3]

I start från talet utfördes studier från talsystemen hos olika urbefolkningar inom mot modell Syd- samt Centralafrika, Australien samt Sydamerika.

nära dessa studier från deras talsystem visade detta sig för att dem flesta från dessa stammar bara ägde mening till en samt numeriskt värde.

Ekvivalens och implikation är relationer mellan påståenden som spelar en stor roll i matematiska resonemang

dem kunde även uttrycka talen tre samt fyra genom för att yttra "ett-och-två" alternativt "två-och-två". samtliga anförande ovan fyra motsvarades från mening såsom "många", "flera" samt "oräkneliga". Detta beror vid för att man ej förmå känna igen fler än fyra objekt utan teoretisk räkning.

Det finns dock andra, konkreta, metoder till för att jämföra antal.

Så används exempelvis i vissa sammanhang tecknet ≡ snarare än = för att representera likhet

Genom för att nyttja andra objekt, mot modell stenar, pinnar alternativt benbitar, är kapabel man jämföra antalet objekt inom enstaka mängd. Detta kallas på grund av ett-till-ett överensstämmelse. angående man mot modell önskar känna till för att inga får saknas inom enstaka flock förmå man karva ett skåra inom enstaka pinne på grund av varenda får samt genom för att senare jämföra pinnen tillsammans flocken förmå man titta angående detta saknas något får.

en annat klart modell existerar angående man sätter sig inom ett kollektivtrafik. Då finns detta numeriskt värde grupper inom bussen, passagerarna samt sittplatserna.

() betyder: arean mellan x-axeln och grafen av funktionen f från x = a till x = b, där de delar som ligger under x-axeln räknas som negativ area

Genom för att para ihop dem numeriskt värde samt numeriskt värde förmå man direkt att fatta beslut eller bestämma något ifall dem stämmer överens inom antal alternativt, angående ej, vilken detta finns flest från, allt utan för att räkna.

Om man tittar närmare vid dessa urbefolkningars sätt för att producera talen tre samt fyra ser man för att man lika enkel skulle behärska producera talet fem liksom "två-två-ett" alternativt talet sex såsom "två-två-två".

Detta kräver dock en teoretisk resonemang. dock detta leder oss in vid enstaka från grundprinciperna till aritmetiken. Genom för att lägga ihop samt lägga mot anförande mot dem man redan äger kunna man producera samtliga dem naturliga talen.^[2]

Aritmetikens historia

[redigera | redigera wikitext]

Ett från dem allra första spåren från aritmetik hittades inom dåvarande Tjeckoslovakien samt existerar cirka 30 kalenderår gammalt.

detta existerar en vargben inom vilket detta finns 60 skåror inristade. Skårorna existerar indelade inom numeriskt värde grupper tillsammans 25 snitt inom den en samt 35 inom den andra. Dessa grupper existerar inom sin tur uppdelade inom grupper angående fem snitt vardera.^[1][3]

De allra första skriftliga bevisen vid mer sofistikerad matematik kommer ifrån Egypten samt Mesopotamien.

Matematiken utvecklades från praktiska skäl på grund av för att mot modell mäta upp landområden, bedriva affär alternativt driva in skatter. inom Egypten fanns en tiotalsystem tillsammans med hieroglyfer. varenda indikator representerade en särskilt värde. dem olika tecknen sattes tillsammans samt adderades mot varandra på grund av för att producera nya anförande.

Principen på grund av addition plats lätt inom samt tillsammans för att detta bara plats för att summera tecknens värden. Även multiplikation samt division fanns. detta Egyptiska talsystemet äger stora likheter tillsammans med detta romerska talsystemet (som dock senare blev positionsberoende, genom för att subtraktion infördes: IIII började tecknas IV o.s.v.).

I Mesopotamien användes en talsystem tillsammans med 60 likt bas, detta sexagesimala talsystemet. på denna plats introducerades detta inledande positionssystemet. Detta betyder för att identisk indikator används på grund av olika numeriska värden beroende vid vilken position detta besitter inom talet. Systemet fanns dock tvetydigt vid bas från bristen vid talet noll.

på grund av för att förhindra dem bekymmer vilket uppstod infördes ett emblem till den "tomma" platsen mellan numeriskt värde anförande. Denna användes dock bara inne inom anförande samt ej inom slutet vilket gjorde för att talsystemet blev relativt. till för att jämföra tillsammans vårt tiotalsystem kunde man mot modell ej känna till ifall talet 11 betydde 11 alternativt alternativt annat än från sammanhanget.

Spår ifrån detta sexagesimala talsystemet finns kvar än idag inom vår tidmätning samt vår vinkelräkning. Symbolen 0 till noll började användas inom slutet från anförande inledningsvis omkring från greken Ptolemaios.

I Kina ägde den tidiga matematiken stora likheter tillsammans med den egyptiska. Redan omkring räknade man tillsammans med negativa anförande inom Asien.

inom Indien använde man detta decimala positionssystemet, decimala talsystemet, detta struktur oss använder idag. Omkring tror man för att talsystemet inom sin nuvarande form eller gestalt fanns fullt utvecklat samt även innehöll nollan likt en erkänt anförande tillsammans med definierade operationer (alla utom division tillsammans med noll).

Matematisk argumentation är en central del av matematik och innefattar koncept som ekvivalens, implikation och axiom

dem insåg även problemen tillsammans för att ta kvadratroten ur negativa anförande. Dessa anförande kallades därför på grund av "overkliga", grunden mot vad oss idag kallar imaginära anförande. Dessa kunskaper spreds senare mot Europa från araberna beneath medeltiden.

Även Grekerna ägde massiv resultat till aritmetikens tillväxt. dem införde satser samt bevis samt dem fanns dem inledande för att bevisa existensen från dem irrationella talen.^[3]

I start från talet^[3] började logaritmer användas.

detta existerar den sista operatorn såsom införlivats inom aritmetiken. Införandet alternativt upptäckten från logaritmer brukar tillskrivas John efternamn. tillsammans med hjälp från räknesticka alternativt tabeller besitter logaritmer fram mot datoråldern varit en effektivt beräkningshjälpmedel på grund av multiplikation, division samt potensräkning.

De talsystem likt existerar vanligast förekommande bygger vid talbaser från fem, tio alternativt 20. Detta besitter sitt ursprung inom den mänskliga kroppens anatomi då detta existerar antalet fingrar samt tår. Även baserna numeriskt värde samt tre äger förekommit dock inom ljus besitter dem flesta andra baser fått ge vika till basen tio. Basen numeriskt värde äger dock börjat användas allt oftare inom samt tillsammans datorernas framväxt, titta detta binära talsystemet.^[2]

Aritmetiska operatorer

[redigera | redigera wikitext]

Aritmetikens viktigaste operationer existerar dem fyra räknesätten.

Det enklaste räknesättet existerar addition. angående man adderar numeriskt värde anförande tar man summan från dem, man lägger ihop antalet element inom numeriskt värde mängder mot enstaka mängd. Omvändningen mot addition existerar subtraktion, för att ta försvunnen en visst antal element ifrån ett mängd.

I detta avsnitt påbörjar vi den matematiska logiken genom att introducera implikation och ekvivalens och hur de kan sättas mellan påståenden

på grund av addition behövs bara dem naturliga talen dock nära införandet från operatorn subtraktion utvidgas denna mängd mot för att innefatta även dem negativa talen.

Multiplikation är kapabel definieras likt upprepad addition från identisk anförande. Talet n adderat mot sig självt m gånger ger identisk påverkan likt produkten från n samt m.

Omvändningen mot multiplikation existerar division, antal element inom varenda delmängd ifall enstaka mängd delas inom en visst antal delmängder. nära införandet från denna operator utvidgas kvantiteten mot för att innehålla rationella anförande (bråk) samt reella anförande.

Potensräkning är kapabel ses vilket en specialfall från multiplikation då detta existerar identisk anförande multiplicerat tillsammans sig självt en visst antal gånger.

Detta gäller dock bara angående exponenten existerar en positivt heltal; enstaka ytterligare definition behövs angående operationerna skall artikel definierade på grund av samtliga talpar.

Ur detta kunna härledas numeriskt värde andra operatorer. Den en existerar rotdragning; n:te roten ur en anförande a existerar en anförande x sålunda för att xⁿ&#;=&#;a.

till för att behärska utföra tvingas man utvidga kvantiteten anförande mot för att även innefatta dem irrationella talen samt, angående man önskar behärska dra roten ur negativa anförande, dem imaginära talen.

Logaritmer existerar den andra operatorn vilket kunna härledas ifrån potenserna.

"Pi", som betecknas med den grekiska bokstaven π, används över hela världen av matematik, naturvetenskap, fysik, arkitektur och mer

Logaritmen till en anförande a existerar detta anförande man måste upphöja en självklart anförande, b, mot på grund av för att erhålla talet a. Logaritmer finns till olika baser, b: x&#;=&#;log_b&#;a&#;⇔&#;b^x&#;=&#;a.

Räknelagar (axiom)

[redigera | redigera wikitext]

För för att dem utvidgningar inom kvantiteten från anförande liksom beskrivits ovan bör existera giltiga behövs för att dem primär räknelagarna kvar gäller på grund av addition samt multiplikation; dessa existerar kommutativitet, associativitet, distributivitet, neutralt element samt invers^{[särskiljning&#;behövs]}.

Ur dem är kapabel man härleda andra räknelagar, potenslagarna samt logaritmlagarna till för att stipulera andra regler till hur aritmetiken fungerar.

Kommutativitet

[redigera | redigera wikitext]

Kommutativitet innebär för att detta ej besitter någon innebörd inom vilken ordning dem numeriskt värde talen äger nära operatorn: x + y = y + x samt x · y = y · x

Potenser existerar ej kommutativa.

allmänt gäller för att x^y ≠ y^x även angående undantag finns.

Associativitet

[redigera | redigera wikitext]

Associativitet innebär för att detta ej äger någon innebörd hur man ordnar tre alternativt fler anförande vilket bör adderas alternativt multipliceras, innan operationerna utförs (x + y) + z = x + (y + z) samt (x · y) · z = x · (y · z) .

Potenser existerar ej heller associativa: (x^y)^z ≠ x^(yz).

Distributivitet

[redigera | redigera wikitext]

Distributivitet innebär för att x · (y + z) = (x · y) + (x · z).

Det här är en lista över vanligt förekommande symboler som används i matematiska uttryck

Dess funktion existerar för att producera koppling mellan dem båda räknesätten.

Motsvarande distributiva lagen på grund av potenser är: (x · y)^z = x^z · y^z.

Neutralt element

[redigera | redigera wikitext]

Ett neutralt element existerar en anförande var värdet vid detta andra talet existerar oförändrat beneath operationen; på grund av vilket anförande a liksom helst gäller för att 0 existerar en neutralt element på grund av addition eftersom a + 0 = 0 + a = a, 1 existerar en neutralt element på grund av multiplikation eftersom a · 1 = 1 · a = a.

Invers

[redigera | redigera wikitext]

För varenda anförande a finns en annat anförande (-a) på grund av vilket detta gäller att: a + (-a) = 0. Detta anförande kallas den additiva inversen.

Trots ursprunget till pi i ämnet geometri, har detta nummer tillämpningar i hela matematiken och dyker till och med upp i ämnena statistik och sannolikhet

vid identisk sätt finns en anförande a^-1 sådant för att a · a^-1 = 1, till samtliga anförande a utom a = 0. Detta anförande kallas den multiplikativa inversen.

Detta ger chans för att definiera subtraktion samt division utifrån axiomen. detta gäller nämligen för att a - b = a + (-b) samt för att a / b = a · b^-1.

detta motiverar även utvidgningar mot negativa anförande samt mot rationella anförande.

Operatorordning

[redigera | redigera wikitext]

Inom aritmetiken gäller ett viss operatorprioritet (operatorordning). Detta betyder för att olika operatorer inom en formulering beräknas inom olika ordning. Multiplikation samt division beräknas inledningsvis samt sedan addition samt subtraktion.

ifall uttrycket innehåller parenteser besitter dessa högst prioritet samt uttrycket inom parentesen beräknas inledningsvis, i enlighet med den vanliga operatorordningen.

Aritmetiken inom vardagen

[redigera | redigera wikitext]

Aritmetiken ligger mot bas till den övriga matematiken samt elementär operationer vid naturliga anförande existerar detta inledande man får lära sig inom skolan.

inom land existerar detta obligatoriskt till varenda små människor för att lära sig för att behärska aritmetikens grundläggande principer eller fundament samt oss använder den dagligen inom vårt vuxna liv. Även ifall detta idag finns ett mängd redskap för hjälp inom struktur från miniräknare samt datorer behövs enstaka primär medvetande till aritmetiken till för att klara från detta dagliga existensen.

Se även

[redigera | redigera wikitext]

Källor

[redigera | redigera wikitext]

Fotnoter

[redigera | redigera wikitext]