Vilka vinklar kan en triangel ha

Men hjälp av dessa förhållanden kan vi beräkna kvoten (förhållandet) mellan längderna eller så kan vi beräkna vinkeln

Gästbok

Matematik minimum - Terminologi
En alfabetisk klickbar register över dem vanligaste definitionerna samt termerna inom matematik
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V X Y Z Å Ä Ö
Klicka på någon från bokstäverna

Nedladdning

En triangel (trekant alternativt trehörning) är enstaka polygon såsom begränsas från tre sträckor, som kallas sidor, vilkas träffpunkter kallas triangelns hörn.
Triangeln betecknas &#; ABC, (som utläses "triangeln A B C") om hörnen kallas A, B samt C.
Sidan, såsom står mot vinkelnα (hörnet A) betecknas vanligen tillsammans a, samt kallas motstående blad mot vinkeln α (hörnet A); sidorna b och c sägs omge vinkeln α.

Vinkeln α samt sidorna b samt c kallas även närliggande.
De tre sidorna samt dem tre vinklarna kallas tillsammans med en gemensamt namn triangelns element.

Mot ett större blad står ett större vinkel.

Mot ett större vinkel står en större blad inom ett triangel.

Triangelolikheten
inom ett triangel är summan från två sidorna större än den tredjeplats, samt skillnaden mellan två sidor mindre än den tredje:

a + b > c	c - a < b
a + c > b	c - b < a
b + c > a	b - a < c

Genaraliserad tillsammans ytterligare beteckning: |a₁|-|a₂| ≤ |a₁ + a₂| ≤ |a₁|+|a₂|.

Vinkelsumman inom ett triangel är º.

Alltså α + β + γ = º.
Yttervinklarna mot ett triangel är tillsammans º. Alltså enl fig. δ + ε + ζ = º.

Yttervinkelsatsen:
Yttervinkeln mot enstaka vinkel inom ett triangel är lika tillsammans med summan från triangelns andra två vinklar.

Med avseende på vinklarnas storlek är trianglar spetsvinkliga, ifall samtliga tre vinklarna är vassa rätvinkliga, ifall ett vinkel är rät, trubbvinkliga, angående ett vinkel är trubbig.

enstaka trubbvinklig triangel är ett triangel, likt besitter enstaka trubbig vinkel (större än 90º).
detta kunna ej finnas två trubbiga vinklar inom enstaka triangel.
När ett vinkel inom ett triangel är rätt alternativt trubbig, är dem andra spetsiga.
ett spetsvinklig triangel är ett triangel, där alla vinklar är vassa.

Rätvinklig triangel

En rätvinklig triangel är enstaka triangel där ett från vinklarna är rät.
De sidor, liksom bildar den räta vinkeln, kallas kateter samt den tredje sidan, såsom står mot detta räta vinkeln, kallas hypotenusa.

Pytagoras' sats

I ett rätvinklig triangel är kvadraten på hypotenusan lika tillsammans med summan från kvadraten på kateterna.
a² + b² = c²

När inom ett triangel kvadraten på enstaka blad är lika tillsammans med summan från dem två andra sidornas kvadrater, är triangeln rätvinklig.

Höjdsatsen

I enstaka rätvinklig triangel är kvadraten på höjden mot hypotenusan lika tillsammans den rektangel, såsom besitter hypotenusans delar mot sidor.

I enstaka rätvinklig triangel är höjden mot hypotenusan medelproportional mot hypotenusans delar.

Summan av alla vinklar i en triangel är alltid lika med °

, varav

Höjden mot hypotenusan inom enstaka rätvinklig triangel delar den inom två trianglar, som båda är likformiga tillsammans med den ursprungliga triangeln.
Triangeln ACD är likformig tillsammans triangeln ABC. Förhållandet mellan trianglarnas areor är (b/c)². Likaså är trianglarna BCD samt BAC likformiga, varför förhållandet mellan areorna är (a/c)².

Summan från dessa förhållanden är 1, varav a²+b²=c².

Snedvinkliga trianglar

Triangeln såsom ej är rätvinklig kallas snedvinklig.
dem snedvinkliga trianglar antingen är spetsvinkliga alternativt trubbvinkliga.

Med avseende på sidornas inbördes längd är trianglar liksidiga, ifall samtliga tre sidorna är lika stora likbenta, ifall två sidor är lika stora oliksidiga, ifall samtliga sidorna är olika stora.

Liksidig triangel

En liksidig triangel är ett triangel, såsom äger samtliga sidor lika stora.

Om vi vet vinkeln \ (v\) så tar vi \ (\sin v\), \ (\cos v\), eller \ (\tan v\) och får ut kvoten

(Det är enstaka regelbunden plygon.)
I ett med lika sidor triangel är varenda vinklar 60º

Följande formler gäller för ett med lika sidor triangel tillsammans med sidan a:

höjden:
arean:
radien för den inskrivna cirkeln:
radien för den omskrivna cirkeln:

Likbent triangel

I ett likbent triangel är två sidor lika stora.

dem lika stora sidorna kallas benen.
Den tredjeplats sidan kallas basen.
Basens närliggande vinklar kallas basvinklar. Den tredjeplats vinkeln kallas toppvinkel.

Basvinkelsatsen:
dem två basvinklarna inom enstaka likbent triangel är lika stora.

I enstaka likben triangel är höjden mot basen, toppvinkelns bisektris, basens mittpunktsnormal samt medianen mot basen sammanfallande.

Likformiga trianglar

Transversalsatsen

En parallelltransversal inom ett triagel delar dem två sidorna inom proportionella delar:

När ett linje delar två sidor inom ett triangel inom proportionella delar, är den ett parallell tvärgående.

I vart och ett av hörnen har triangeln en vinkel och hörnen binds samman av tre sidor

Topptriangelsatsen:

enstaka tvärgående, likt är parallell tillsammans enstaka blad inom enstaka triangel, avskär enstaka topptriangel, vilket är likformig tillsammans med all triangeln.

En linje, liksom förbinder mittpunkterna inom två sidor inom enstaka triangel, är parallell tillsammans med den tredjeplats samt hälften så massiv liksom denna kallas ett mittpunktstransversal.

Trianglar tillsammans proportionella sidor är likformiga.

Likvinkliga trianglar är likformiga.

Likformighetsfallen

dvs.

förutsättningar beneath vilka två trianglar är likformiga är fyra stycken:
(motsvarande sats inom Euklides Elementa inom parentes).

vilka vinklar är kapabel enstaka triangel ha

Första likformighetsfallet (VI.6):
ifall två sidor inom enstaka triangel är proportionella mot två sidor inom ett ytterligare triangel samt mellanliggande vinklar är lika stora, är trianglarna likformiga.

Andra likformighetsfallet (VI.5)
angående sidorna inom enstaka triangel är proportionella mot sidorna inom enstaka ytterligare triangel, så är trianglarna likformiga.

Tredje likformighetsfallet (VI.4)
angående två vinklar inom ett triangel är lika stora tillsammans plats sin vinkel inom ett ytterligare triangel, så är trianglarna likformiga.

[Fjärde likformighetsfallet
ifall två sidor inom enstaka triangel är proportionella mot två sidor inom ett ytterligare triangel samt den mot den större från dessa sidor stående vinkeln inom den en triangel är lika tillsammans motsvarande vinkel inom den andra triangeln så är trianglarna likformiga.]

Homolog = överensstämmande, motsvarande
inom fråga ifall en antal kongruenta alternativt likformiga trianglar sägas dem sidor artikel homologa, vilket står emot lika stora vinklar, samt dem vinklar homologa, såsom står emot lika stora alternativt proportionella sidor.

Höjd

En höjd inom ett triangel är ett linje från en hörn vinkelrätt mot motstående blad såsom kallas bas.
En triangel besitter tre höjder, likt vanligen betecknas h_a, h_b samt h_c.

dem skär varandra inom enstaka punkt likt kallas triangelns ortocentrum.

När triangeln är spetsig, faller samtliga tre höjderna innanför triangeln.
angående triangeln är trubbig, faller två från höjderna utanför triangeln.
angående triangeln är rätvinklig, sammanträffar två från höjderna tillsammans med kateterna.

Bisektris

En bisektris inom enstaka triangel delar ett vinkel mitt itu.

Dessa trigonometriska funktioner kan vi använda för att ta reda på den okända längden på en av en rätvinklig triangels sidor, om vi känner till längden på en av de andra sidorna och storleken på en av triangelns spetsiga vinklar

detta finns tre bisektriser inom ett triangel, samt dem betecknas tillsammans med v_A, v_B samt v_C.
En triangels tre bisektrisar skär varandra inom ett punkt, såsom är medelpunkt mot den inskrivna cirkeln, den punkt, från vilken detta är identisk avstånd mot samtliga sidor.
I varenda triangel är inskrivna cirkelns radie:

(där A triangelns area, ssemiperimeter, halva omkretsen, alltså s=(a+b+c)/2 )

Bisektrissatsen
Bisektrisen mot enstaka vinkel delar motstående blad inom två delar vilket förhåller sig liksom närliggande sidor:

Median

En median inom enstaka triangel är enstaka linje från en hörn till mittpunkten på motstående blad.

detta finns tre medianer inom ett triangel, och dem betecknas m_a, m_b samt m_c.
De tre medianer skär varandra inom enstaka punkt (triangelns tyngdpunkt).

Två medianer inom enstaka triangel skär varandra inom delar likt förhåller sig liksom Tyngdpunktens avstånd från en hörn inom triangeln utgör sålunda ²/₃ från motsvarande medians bota längd.

Omskriven cirkel

Den omskrivna cirkeln kring enstaka triangel är den cirkel likt går genom triangelns tre hörn; triangeln sägs existera inskriven inom cirkeln.

Medelpunkten O ligger inom den gemensamma skärningspunkten för mittpunkstsnormalerna till triangelns sidor.
I ett triangel tillsammans med sidorna a, b samt c är omskrivna cirkelns radie:

där A är triangelns area.

Eulers linje

inom enstaka triangel ligger höjdernas skärningspunkt H, medianernas skärningspunkt M samt den omskrivna cirkelns medelpunkt O på ett rät linje, likt kallas Eulers linje.

Vidskriven cirkel
En cirkel sägs artikel vidskriven ett triangel, ifall den tangerar ett blad inom triangeln samt dem båda andra sidornas förlängningar.

varenda triangel äger sålunda tre vidskrivna cirklar.

Hörnen i en triangel betecknar vi ofta med stora bokstäver (versaler), till exempel A, B och C som i bilden här ovanför

I enstaka triangel tillsammans med sidorna a, b samt c är vidskrivna cirkelns radie:

(där A triangelns area, s halva omkretsen, alltså s=(a+b+c)/2 )

Om cirkeln tangerar sidan c samt dem båda andra sidornas förlängningar, betecknas dess radies längd tillsammans med r_c; inom annat fall tillsammans r_aeller r_b.

Kongruensfall

Två trianglar är kongruenta, angående dem överensstämmer tillsammans avseende på

två sidor samt mellanliggande vinkel	I
de tre sidorna	II
två vinklar samt mellanliggande sida	III
två sidor samt motstående vinkel från större sidan	IV

Ex.

ett triangel är entydigt bestämd, ifall man känner två sidor samt enstaka mot den större sidan stående vinkel.